QWorksMetode numerik untuk teknik sipil
Banyak hitungan teknik sipil tidak punya jawaban rumus langsung: nilai di antara dua baris tabel, garis terbaik dari data uji yang berserakan, luas penampang sungai yang tidak beraturan, atau kedalaman air yang tersembunyi di dalam persamaan Manning. Metode numerik menjawabnya dengan langkah hitung yang teratur dan galat yang terkendali.
Setelah topik ini Anda mampu
- Membaca nilai di antara baris tabel dengan interpolasi linier dan menilai galatnya.
- Menyusun garis regresi kuadrat terkecil dari data uji dan menafsirkan koefisien determinasi R².
- Menghitung luas dan volume dengan aturan trapesium dan Simpson dari data ukur berjarak sama.
- Mencari akar persamaan dengan biseksi dan Newton–Raphson, lengkap dengan tabel iterasi dan kriteria berhenti.
Aljabar, fungsi logaritma, konsep turunan dan integral, penggunaan kalkulator atau lembar kerja.
Penyelidikan tanah (tabel faktor), statistik mutu beton, hidrologi dan saluran terbuka, estimasi volume galian dan timbunan.
2 pertemuan kuliah · sekitar 2 jam belajar mandiri
Permainan tebak angka
Seorang teman memilih angka 1 sampai 100. Anda menebak, ia menjawab "lebih besar" atau "lebih kecil". Cara tercepat adalah selalu menebak di tengah rentang yang tersisa, sehingga setiap tebakan membuang separuh kemungkinan. Itulah metode biseksi: komputer memakai cara yang sama untuk mencari kedalaman air yang memenuhi persamaan Manning.
Empat alat: interpolasi, regresi, integrasi, dan akar
Interpolasi melewati titik data persis, cocok untuk tabel yang nilainya pasti. Regresi tidak melewati semua titik; ia mencari garis yang paling dekat dengan data uji yang mengandung sebaran. Integrasi numerik menjumlahkan luas pias kecil di antara titik ukur. Pencarian akar mengulang tebakan sampai persamaan terpenuhi dalam toleransi yang ditetapkan.
Satuan mengikuti data: m, m², m³, m³/s, MPa. Galat dinyatakan dalam persen. ln adalah logaritma natural.
Memilih metode
| Metode | Kelebihan | Perhatikan |
|---|---|---|
| Interpolasi linier | Cepat, cukup untuk tabel yang rapat | Galat membesar bila tabel jarang dan kurva melengkung; jangan ekstrapolasi jauh |
| Regresi kuadrat terkecil | Meredam sebaran data uji | R² tinggi tidak membuktikan hubungan sebab-akibat; periksa bentuk sebaran sisa, coba transformasi (mis. ln x) |
| Trapesium | Sederhana, n bebas | Galat sebanding dengan h² |
| Simpson 1/3 | Jauh lebih teliti untuk profil halus (galat ∝ h⁴) | Perlu jumlah segmen genap; tambah 3/8 bila ganjil |
| Biseksi | Selalu konvergen bila akar terkurung | Lambat: galat hanya separuh tiap iterasi |
| Newton–Raphson | Sangat cepat dekat akar (konvergen kuadratik) | Perlu turunan dan tebakan awal yang wajar; bisa melompat jauh |
Contoh rekayasa di topik ini: faktor daya dukung Nq = eπ tan φ·tan²(45° + φ/2) (Das) sebagai "tabel" yang nilai eksaknya diketahui, sehingga galat interpolasi dapat dihitung; volume galian dari luas potongan melintang dengan rumus luas ujung rata-rata (trapesium) dan prismoida (Simpson).
Acuan: Chapra dan Canale, Numerical Methods for Engineers (bab metode tertutup, metode terbuka, regresi kuadrat terkecil, interpolasi, dan rumus integrasi Newton–Cotes); Das, Principles of Foundation Engineering (faktor Nq); Chow, Open-Channel Hydraulics (persamaan Manning).
3 contoh, dari dasar ke terapan
Tabel faktor daya dukung hanya memuat φ = 30° (Nq = 18,40) dan φ = 35° (Nq = 33,30). Hasil uji geser langsung memberi φ = 32°. Tentukan Nq dengan interpolasi linier dan bandingkan dengan rumus eksaknya.
Interpolasi linier
- Rumus
- Nq = 18,40 + (33,30 − 18,40) × (32 − 30) / (35 − 30)
- Hasil
- Nq = 18,40 + 14,90 × 0,4 = 24,36
Nilai eksak dari rumus
- Rumus
- Nq = eπ tan 32° × tan²(61°)
- Hasil
- Nq = 7,121 × 3,255 = 23,18
Galat
- Galat relatif
- (24,36 − 23,18) / 23,18 = +5,1 %
Kuat tekan rata-rata silinder beton pada umur 3, 7, 14, 21, dan 28 hari adalah 13,2; 19,0; 23,5; 25,8; dan 27,6 MPa. Susun regresi fc = a + b·ln(t), hitung R², lalu perkirakan kuat tekan umur 56 hari.
Transformasi dan jumlah-jumlah
- x = ln t
- 1,0986; 1,9459; 2,6391; 3,0445; 3,3322
- Σx, Σy
- 12,0603; 109,10
- Σx², Σxy
- 32,3308; 284,0093
Koefisien regresi
- b
- (5 × 284,0093 − 12,0603 × 109,10) / (5 × 32,3308 − 12,0603²) = 6,435
- a
- 109,10/5 − 6,435 × 12,0603/5 = 6,298
- Model
- fc = 6,298 + 6,435·ln(t)
Kecocokan dan perkiraan
- R²
- 0,9990 (dengan x langsung tanpa ln hanya 0,8987)
- Umur 56 hari
- 6,298 + 6,435 × ln 56 = 32,20 MPa
Pemeruman sungai selebar 12 m pada jarak 2 m memberi kedalaman 0; 1,2; 2,3; 2,8; 2,5; 1,4; 0 m. Hitung luas basah dengan trapesium dan Simpson 1/3. Lalu, untuk normalisasi saluran, luas galian di lima potongan melintang berjarak 25 m adalah 12,5; 15,2; 18,6; 16,1; 13,4 m². Hitung volume galian dengan luas ujung rata-rata dan prismoida.
Luas basah (h = 2 m, 6 segmen)
- Trapesium
- 2 × (0/2 + 1,2 + 2,3 + 2,8 + 2,5 + 1,4 + 0/2) = 20,40 m²
- Simpson 1/3
- (2/3) × [0 + 4(1,2 + 2,8 + 1,4) + 2(2,3 + 2,5) + 0] = 20,80 m²
Volume galian (h = 25 m, 4 segmen)
- Luas ujung rata-rata
- 25 × (12,5/2 + 15,2 + 18,6 + 16,1 + 13,4/2) = 1.571,25 m³
- Prismoida (Simpson)
- (25/3) × [12,5 + 4(15,2 + 16,1) + 2 × 18,6 + 13,4] = 1.569,17 m³
Bandingkan
- Selisih
- luas 2,0 %, volume 0,13 %
Kerjakan dengan angka soalmu
Kedalaman normal saluran dengan biseksi dan Newton–Raphson. Ketik angka soalmu sendiri, lalu lihat data soal, hasil, pemeriksaan, dan langkah hitungannya. Tanpa login untuk materi dasar.
Yang perlu diingat
- Interpolasi melewati titik tabel; galatnya membesar bila tabel jarang dan kurva melengkung.
- Regresi kuadrat terkecil meminimalkan Σ(sisa)²; R² mendekati 1 berarti model menjelaskan hampir semua variasi data.
- Transformasi (mis. ln umur) dapat membuat hubungan lengkung menjadi lurus.
- Trapesium sederhana (galat ∝ h²); Simpson jauh lebih teliti (galat ∝ h⁴) tetapi perlu segmen genap.
- Volume dari luas potongan: luas ujung rata-rata = trapesium, prismoida = Simpson.
- Biseksi pasti konvergen bila akar terkurung; Newton–Raphson cepat tetapi perlu turunan dan tebakan wajar.
- Hentikan iterasi saat galat relatif semu εa lebih kecil dari toleransi εs.
y = y0 + (y1 − y0)(x − x0)/(x1 − x0)
b = (nΣxy − ΣxΣy)/(nΣx² − (Σx)²), a = ȳ − b x̄, R² = 1 − Sr/St
Trapesium: h[y0/2 + Σydalam + yn/2]; Simpson: (h/3)[y0 + 4Σganjil + 2Σgenap + yn]
Biseksi: xr = (a + b)/2; Newton: xi+1 = xi − f/f′
Manning: Q = (1/n)AR2/3S1/2
Materi beta. Topik ini belum ditinjau ahli per bidang. Rumus dan contoh sudah diuji terhadap hitungan manual, tetapi tetap periksa dengan standar aslinya sebelum dipakai untuk pekerjaan.