QWorks Civil Learning
Materi dasar / Fondasi bersama
L1 DasarMekanika bahanBeta

Tegangan, regangan, dan lendutan

Gaya dalam belum menjawab apakah balok atau kolom kuat dan cukup kaku. Topik ini mengubah gaya menjadi tegangan pada penampang, tegangan menjadi regangan, dan regangan menjadi lendutan, lalu memeriksa kapan kolom langsing menekuk.

Kerjakan soal dengan angkamu di Step SolverBuka versi interaktif
Tujuan dan prasyarat

Setelah topik ini Anda mampu

  1. Menghitung tegangan normal σ = P/A, regangan ε, dan perpanjangan batang δ = PL/(AE) dengan hukum Hooke.
  2. Menghitung momen inersia penampang persegi dan profil I dari dimensinya.
  3. Menghitung tegangan lentur σ = My/I dan tegangan geser τ = VQ/(It) serta menggambar distribusinya.
  4. Menghitung lendutan balok sederhana dan kantilever, lalu membandingkannya dengan batas lendutan.
  5. Menghitung beban tekuk Euler dengan faktor panjang efektif K dan tegangan utama dengan lingkaran Mohr.
Prasyarat

Gaya dalam balok (diagram V dan M), aljabar dan trigonometri dasar.

Dipakai lagi di

Beton bertulang, struktur baja dan kayu, beton prategang, kuat geser tanah (lingkaran Mohr), jembatan.

Setara

3 pertemuan kuliah · sekitar 3 jam belajar mandiri

Intuisi

Penggaris yang ditekuk pipih dan tegak

Jepit penggaris plastik di tepi meja dan gantungkan koin di ujungnya. Bila penggaris diletakkan pipih, ujungnya turun jauh. Putar penggaris sehingga berdiri tegak: bahan dan ukurannya sama, tetapi hampir tidak melendut. Yang berubah hanya letak bahan terhadap garis netral, yaitu momen inersia I.

Teori dan rumus

Dari gaya ke tegangan, regangan, dan lendutan

Tegangan adalah gaya per satuan luas di dalam bahan. Selama bahan masih elastis, regangan sebanding dengan tegangan (hukum Hooke). Pada balok, momen menimbulkan tegangan lentur yang bertambah lurus dari garis netral, dan gaya lintang menimbulkan tegangan geser yang paling besar di garis netral. Integrasi kelengkungan sepanjang balok menghasilkan lendutan.

Tegangan normal dan regangan
σ = P/A; ε = δ/L; hukum Hooke σ = E·ε → δ = PL/(AE)
Momen inersia persegi
I = b·h³/12; S = I/c = b·h²/6
Momen inersia profil I (tanpa fillet)
I = [bfh³ − (bf − tw)(h − 2tf)³] / 12
Tegangan lentur
σ = M·y / I; σmaks = M·c / I = M / S
Hibbeler bab lentur
Tegangan geser
τ = V·Q / (I·t); persegi: τmaks = 1,5·V/A
Hibbeler bab geser transversal
Lendutan maksimum
sederhana: 5wL⁴/(384EI), PL³/(48EI) (P di tengah); kantilever: wL⁴/(8EI), PL³/(3EI) (P di ujung)
tabel lendutan Hibbeler/Gere
Beban tekuk Euler
Pcr = π²EI/(KL)²; σcr = π²E/(KL/r)², r = √(I/A)
Tegangan utama dan lingkaran Mohr
σ1,2 = (σx + σy)/2 ± R; R = τmaks = √[((σx − σy)/2)² + τxy²]; tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)

Satuan: N, mm, MPa (= N/mm²); 1 kN·m = 10⁶ N·mm. Tarik positif, tekan negatif. Momen positif melenturkan balok ke bawah (serat bawah tarik). y diukur dari garis netral. Pada lingkaran Mohr, τ positif digambar ke bawah dan sudut di lingkaran = 2 × sudut di elemen, searah putarannya (konvensi Hibbeler).

Faktor panjang efektif K kolom ideal

Kondisi ujungK teoretisBentuk tekuk
Jepit–jepit0,5Melengkung ganda, titik belok di seperempat tinggi
Jepit–sendi0,7Satu titik belok
Sendi–sendi1,0Setengah gelombang sinus
Jepit–bebas2,0Seperempat gelombang, seperti tiang bendera

Nilai teoretis dari Hibbeler/Gere. Untuk desain, standar baja memakai nilai rekomendasi yang sedikit lebih besar karena jepit sempurna sulit dicapai (dibahas di topik Struktur baja). Rumus Euler hanya berlaku selama σcr masih di bawah batas proporsional bahan; kolom pendek leleh lebih dulu sebelum menekuk. Di topik ini batas itu didekati dengan fy (kolom ideal). Pada kolom baja canai panas, tegangan sisa dan ketidaklurusan membuat perilaku inelastis mulai jauh di bawah fy: SNI 1729:2020 Pasal E3 hanya memakai rumus tekuk elastis bila KL/r > 4,71√(E/fy) (sekitar 133 untuk fy 250 MPa), dan itu pun dikalikan 0,877.

Batas lendutan

Lendutan tidak membuat balok runtuh, tetapi lantai yang terlalu lentur terasa bergetar, plafon retak, dan pintu macet. Batas lendutan ditulis sebagai bagian dari bentang, misalnya L/240 atau L/360. Untuk komponen beton gedung, nilainya dipilih dari SNI 2847:2019 Tabel 24.2.2 menurut jenis komponen dan apakah ia menopang elemen nonstruktural yang mudah rusak. Di topik ini batas lendutan Anda pilih sendiri.

Acuan: Hibbeler, Mechanics of Materials (bab tegangan, regangan, lentur, geser transversal, transformasi tegangan, lendutan, dan tekuk); Gere dan Goodno, Mechanics of Materials. Batas lendutan beton: SNI 2847:2019 Tabel 24.2.2.

Contoh soal terurai

3 contoh, dari dasar ke terapan

Contoh 1 · batang tarik penggantungdasar

Batang baja bulat diameter 16 mm, panjang 3 m, menggantung pelat kanopi dengan gaya tarik P = 50 kN. E = 200.000 MPa. Hitung tegangan, regangan, dan perpanjangan batang.

  1. Luas penampang

    A
    π × 16² / 4 = 201,06 mm²

  2. Tegangan dan regangan

    σ
    50.000 / 201,06 = 248,68 MPa
    ε
    248,68 / 200.000 = 0,001243 (0,124 %)

  3. Perpanjangan

    Rumus
    δ = PL/(AE)
    Substitusi
    50.000 × 3.000 / (201,06 × 200.000)
    Hasil
    δ = 3,73 mm
Artinya: Tegangan 248,68 MPa sudah setara tegangan leleh baja mutu rendah (sekitar 250 MPa). Batang ini perlu diameter lebih besar; perpanjangan 3,7 mm sendiri masih kecil.
Contoh 2 · profil WF: lentur, geser, dan lendutanmenengah

Balok baja WF 300 × 150 × 6,5 × 9 (abaikan fillet), tumpuan sederhana, bentang 6 m. Di penampang yang ditinjau bekerja momen M = 60 kN·m dan gaya lintang V = 80 kN. Hitung I, σmaks, dan τmaks. Lalu hitung lendutan akibat beban layan merata w = 10 kN/m (E = 200.000 MPa) dan periksa terhadap batas L/360.

  1. Momen inersia dari dimensi

    Rumus
    I = [bfh³ − (bf − tw)(h − 2tf)³] / 12
    Substitusi
    [150 × 300³ − 143,5 × 282³] / 12
    Hasil
    I = 69.325.191 mm⁴ (6.932,5 cm⁴)

  2. Tegangan lentur (M = 60 kN·m)

    σmaks
    60 × 10⁶ × 150 / 69.325.191 = 129,82 MPa

  3. Tegangan geser (V = 80 kN)

    Q di garis netral
    150 × 9 × 145,5 + 6,5 × 141² / 2 = 261.038 mm³
    τmaks
    80.000 × 261.038 / (69.325.191 × 6,5) = 46,34 MPa
    Pembanding
    V/(h·tw) = 80.000 / (300 × 6,5) = 41,03 MPa

  4. Lendutan akibat w = 10 kN/m

    δ
    5 × 10 × 6.000⁴ / (384 × 200.000 × 69.325.191) = 12,17 mm
    Batas
    L/360 = 6.000 / 360 = 16,67 mm → memenuhi
Artinya: Sayap profil I menahan sebagian besar momen karena jauh dari garis netral, sedangkan badan menahan hampir seluruh geser. Karena itu tegangan geser profil I cukup didekati dengan V dibagi luas badan.
Contoh 3 · tekuk kolom bajaterapan

Kolom gudang WF 150 × 150 × 7 × 10 setinggi 4 m, ujung atas dan bawah sendi, tidak ditopang ke arah sumbu lemah. E = 200.000 MPa. Hitung beban tekuk Euler dan periksa apakah rumus Euler berlaku (fy 250 MPa). Bagaimana bila kaki kolom dijepit dan puncaknya bebas?

  1. Besaran sumbu lemah

    Iy
    2 × 10 × 150³ / 12 + 130 × 7³ / 12 = 5.628.716 mm⁴
    A
    2 × 150 × 10 + 130 × 7 = 3.910 mm²
    ry
    √(5.628.716 / 3.910) = 37,94 mm

  2. Beban kritis sendi–sendi (K = 1)

    Pcr
    π² × 200.000 × 5.628.716 / 4.000² = 694.415 N
    Hasil
    Pcr = 694,41 kN
    σcr
    694.415 / 3.910 = 177,6 MPa < 250 MPa → menurut teori kolom ideal tekuk terjadi sebelum leleh, Euler berlaku
    KL/r
    4.000 / 37,94 = 105,4

  3. Jepit–bebas (K = 2)

    Pcr
    694,41 / 2² = 173,60 kN
Artinya: Kondisi ujung mengubah beban tekuk sampai empat kali lipat. Kolom kantilever (jepit–bebas) jauh lebih lemah, jadi pengaku atau balok pengikat di puncak kolom sangat berharga. Pcr Euler adalah batas atas teoretis: untuk desain, SNI 1729:2020 Pasal E3 memperhitungkan tegangan sisa dan ketidaklurusan. Dengan KL/r = 105 < 133, kolom sendi–sendi ini berada di daerah tekuk inelastis dan kuat nominalnya lebih kecil daripada 694 kN (dibahas di topik Struktur baja).
Step Solver

Kerjakan dengan angka soalmu

Periksa balok: tegangan dan lendutan. Ketik angka soalmu sendiri, lalu lihat data soal, hasil, pemeriksaan, dan langkah hitungannya. Tanpa login untuk materi dasar.

Buka Step Solver
Ringkasan dan lembar rumus

Yang perlu diingat

  • Tegangan = gaya per luas; selama elastis σ = Eε (hukum Hooke).
  • Batang aksial memanjang δ = PL/(AE).
  • Tegangan lentur bertambah lurus dari garis netral: σ = My/I, terbesar di serat terluar.
  • Tegangan geser terbesar di garis netral: τ = VQ/(It); persegi 1,5V/A, profil I hampir seluruhnya di badan.
  • Kekakuan lentur EI menentukan lendutan; tinggi penampang paling berpengaruh karena I ∝ h³.
  • Lendutan dibandingkan dengan batas seperti L/240 atau L/360 sesuai jenis komponen.
  • Beban tekuk Euler turun cepat dengan panjang (∝ 1/L²) dan sangat dipengaruhi kondisi ujung K.
  • Lingkaran Mohr: pusat (σx + σy)/2, jari-jari = τmaks, tegangan utama di sumbu σ.
Lembar rumus

σ = P/A, δ = PL/(AE)

Ipersegi = bh³/12; σ = Mc/I; τpersegi,maks = 1,5V/A

δsederhana = 5wL⁴/(384EI) + PL³/(48EI)

δkantilever = wL⁴/(8EI) + PL³/(3EI)

Pcr = π²EI/(KL)²

σ1,2 = (σx + σy)/2 ± √[((σx − σy)/2)² + τxy²]

Materi beta. Topik ini belum ditinjau ahli per bidang. Rumus dan contoh sudah diuji terhadap hitungan manual, tetapi tetap periksa dengan standar aslinya sebelum dipakai untuk pekerjaan.